Трек 2. Производная функции. Исследование функциий с помощью производных
ПGeoGebra вычисляет производные функций любого порядка и строит графики этих производных. Обозначение производной стандартное - f'(x). Соответственно, вторая производная обозначается f''(x) и т.д.
Этот инструмент позволяет использовать GeoGebra не только, как калькулятор для вычисления производной, но и проводить различные исследования для выявления свойств функции по поведению ее первой и второй производной. Речь идет о свойстве монотонности функции в зависимости от знака первой производной и свойстве выпуклости функции в зависимости от знака второй производной. Здесь же можно проверить свойство смены знака производной в точках экстремума, а также смены знака второй производной в точках перегиба графика функции.
Для высшей школы можно использовать этот инструмент для исследования сходимости ряда Тейлора конкретных функций (поведение последовательности частичных сумм ряда Тейлора).
Пример 1. Исследование функции
Пример 2. Исследование ряда Тейлора. Составить последовательность многочленов Тейлора (частичных сумм ряда Тейлора-Маклорена) для функции y=e^x и построить их графики.
Решение этой задачи можно посмотреть ЗДЕСЬ.
Этот инструмент позволяет использовать GeoGebra не только, как калькулятор для вычисления производной, но и проводить различные исследования для выявления свойств функции по поведению ее первой и второй производной. Речь идет о свойстве монотонности функции в зависимости от знака первой производной и свойстве выпуклости функции в зависимости от знака второй производной. Здесь же можно проверить свойство смены знака производной в точках экстремума, а также смены знака второй производной в точках перегиба графика функции.
Для высшей школы можно использовать этот инструмент для исследования сходимости ряда Тейлора конкретных функций (поведение последовательности частичных сумм ряда Тейлора).
Пример 1. Исследование функции
f(x) = (x - 2)² (x + 2)²/16
с помощью первой и второй производной.
Результаты исследования приведены на следующей схеме:
Пример 2. Исследование ряда Тейлора. Составить последовательность многочленов Тейлора (частичных сумм ряда Тейлора-Маклорена) для функции y=e^x и построить их графики.
Решение этой задачи можно посмотреть ЗДЕСЬ.
Практическое задание
Необходимо решить 3 следующие задачи с использованием GeoGebra:
- Задача 1. Вычислить вторую производную функции у=x^x и построить ее график.
- Задача 2. Построить в одной системе координат график функции f(x), ее первой и второй производной. Выделите на графике точки экстремума и точки перегиба.
- Задача 3. Составьте многочлен Тейлора 4-го порядка для функции y=ln(x+1) и нарисуйте графики исходной функции и многочлена Тейлора.
Необходимо решить 3 следующие задачи с использованием GeoGebra:
- Задача 1. Вычислить вторую производную функции у=x^x и построить ее график.
- Задача 2. Построить в одной системе координат график функции f(x), ее первой и второй производной. Выделите на графике точки экстремума и точки перегиба.
- Задача 3. Составьте многочлен Тейлора 4-го порядка для функции y=ln(x+1) и нарисуйте графики исходной функции и многочлена Тейлора.
Отчетные материалы
Отчетные материалы представляются в следующем виде:
- Если вы имеете аккаунт в Google, сохраните ваши результаты в Google Drive, оставьте ссылку на файлы с результатами в таблице ТР. Не забудьте сделать загруженные файлы доступными для обладателей ссылки!
- Если вы не имеете аккаунта в Google, тогда нужно cделать скриншоты результатов решения каждой из трех задач. Поместите картинки (скриншоты) на любой сервис хранения фотографий и оставьте ссылки в соответствующих столбцах таблицы ТР.
Комментариев нет:
Отправить комментарий